无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。如圆周率、2的平方根等。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数。

无理数

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

超越数

超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。（1748年）”而得名。

1844年，法国数学家刘维尔首先证明了超越数的存在性。厄米特与林德曼先后证明了e与π为超越数。